Мира и Мирра – разные имена: Мира – славянское (корень тот же, что в словах мир, мирный), Мирра – греческого происхождения (от греч. myrrinē — мирт).
Во мн. ч. - Кубки мира (как Олимпиады).
Правильно: чемпионат мира, Кубок мира.
Верно написание строчными буквами: двукратный чемпион мира.